Erruletaren matematika · Aplikatua · 13 min

Porrot-arriskua

Q: Jaisten al du progresio batek porrot-arriskua?

Martingale estrategiak saio laburretan jaisten du, eta saio luzeetan izugarri igotzen. Unitate handiagoko apustu finkoa da hura jaisteko modu zintzoa.

Kapital osoa galtzeko probabilitatea, helburu batera iritsi aurretik.

Erantzun laburra

Diru berdineko apustuetan, porrot-arriskuak jokalariaren porrotaren formula betetzen du. $500eko kapitalarekin, $10eko apustuekin eta $600eko helburuarekin, kasuen 57% inguruan iristen zara helburura, eta gainerakoetan dena galtzen duzu.

formula

jokalariaren porrota

p (diru berdina)

18/37

q/p

1,0556

emaitzarik zaharrena

Pascal–Fermat, 1656

Galdera

a unitatekodiruaUnitateaSistema batek edo jokalari batek erabiltzen duen oinarrizko apustua. Progresioak unitatetan deskribatzen dira, edozein mahaitan aplika daitezen.Irakurri osorik → kapitaladiruaKapitalaJokatzeko gordetako diru guztia. Kapitalaren kudeaketa da hartatik zenbat arriskatu erabakitzea, apustu bakoitzeko eta saio bakoitzeko.Irakurri osorik → duzu, eta a + b unitatera iritsi nahi duzu, aldi bakoitzean unitate bat apustatuz diru berdineko apustuapustuaDiru berdineko apustuaGorria/beltza, bakoitia/bikoitia, handia/txikia. 18 zenbaki; 1:1 ordaintzen du.Irakurri osorik → batean, irabazteko probabilitateamatematikaProbabilitateaEmaitza baten aukera, 0 eta 1 artean edo 0% eta 100% artean. Zenbaki bakar bat: 1/37 = 2,70%.Irakurri osorik → p = 18/37 eta galtzekoa q = 19/37 izanik. Zein da helburura zerora baino lehen iristeko aukera? Pascalek, Fermatek eta Huygensek kalkulatu zuten erantzuna 1650eko hamarkadan, eta probabilitate-teoriaren emaitzarik zaharrenetako bat da.

Blaise Pascal: erruleta-gurpilaren kondaira

Jokalariaren porrotaren formula

P(helburura iritsi) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Porrot-arriskuamatematikaPorrot-arriskuaHelburu batera edo bira kopuru batera iritsi aurretik kapital osoa galtzeko probabilitatea.Irakurri osorik → bat ken hori da. q/p = 19/18 ≈ 1,0556 denez, erlazioa esponentzialki hazten da unitate kopuruarekin; beraz, formulak gogor zigortzen ditu unitate txikiak: helburura iristeko zenbat eta apustu gehiago behar izan, orduan eta aldiz gehiagotan ordaintzen da bidean 2,70% hori.

kapitalaunitateahelburuaapustuak helburura artep(helburura iritsi)porrot-arriskua

$500$10$60010≈ 57%≈ 43%

$500$50$6002≈ 79%≈ 21%

$500$10$1.00050≈ 6%≈ 94%

$500$100$1.0005≈ 43%≈ 57%

$500$500$1.000148,6%51,4%

$100$10$20010≈ 37%≈ 63%

Diru berdineko apustuak, apustu-zenbateko finkoa, la partage gabe. Porrot-arriskuaren kalkulagailuak edozein zenbakirekin egiten du kalkulua.

Nola irakurri

Unitate txikiek kalte egiten dute. $500 $10eko apustuekin bikoizteko arrakasta-probabilitatea 6% da; $500eko apustu bakar batekin, 48,6%. Joko ausartak (apustu gutxiago eta handiagoak) maximizatzen du helburu bat lortzeko aukera itxarondako balio negatiboko joko batean, abantaila aplikatzen den aldi kopurua minimizatzen baitu. Gertatzen zaizunaren bariantzamatematikaBariantzaEmaitzak itxarondako balioaren inguruan zenbat sakabanatzen diren adierazten duen neurria. Handia zenbaki bakarreko apustuan, txikia diru berdineko apustuetan.Irakurri osorik → ere maximizatzen du, eta arratsaldea azkar amaitzen du. Teoremari «joko ausarta optimoa da» deitzen zaio, eta Dubinsek eta Savagek frogatu zuten 1965ean.

$500 $1.000 bihurtzeko aukera gorrian%

$500eko apustu bakarra

48,6%

$100eko apustuak

≈ 43%

$50eko apustuak

≈ 37%

$20ko apustuak

≈ 21%

$10eko apustuak

≈ 6%

$5eko apustuak

≈ 0,5%

024,3048,6%

Zenbat eta apustu gehiago behar izan, orduan eta maizago ordaintzen da abantaila. Joko herabea garestia da.

Non hasi zen problema

Galdera erruleta baino zaharragoa da. 1656an, Pascalek buru-hausgarri bat jarri zion Fermati: bi jokalarik hiru dado botatzen dituzte, bakoitza 12 tantorekin hasita; 11ko jaurtiketa batek tanto bat alde batera mugitzen du, eta 14ko batek bestera. Biek ebatzi zuten, eta Huygensek, Pierre de Carcavi matematikariaren gutun baten bidez jakin zuenak, 1657an argitaratu zuen probabilitateari buruzko lehen liburuko bosgarren problema gisa, erantzunarekin eta frogapenik gabe. Hamaika 27 modutan bota daiteke, eta hamalau 15 modutan bakarrik; beraz, tanto bakoitza 14tik 9 aldiz mugitzen da lehen jokalariaren alde, eta goiko formularen arabera, bakoitzak 12 tanto dituela, hark 1.157 aldiz inguru probabilitate handiagoa du dena irabazteko dena galtzeko baino. 2,70%-ko abantaila askoz txikiagoa da, baina formula berak erakusten du zer egiten duen apustu askotan.

Pascalen buru-hausgarrian, hiru dadoren jaurtiketa bakoitzak tanto bat mugitzen du jokalarien artean.

Benetako apustu ausart bat

2004ko apirilean, Ashley Revell ingeles gazteak zuen ia guztia saldu zuen, arropa barne, eta $135.300 eraman zituen Las Vegaseko Plaza kasinora. Apustu txiki batzuen ondoren, zenbateko osoa gorrianapustuaGorria18 zenbaki gorrien gaineko diru berdineko apustua. Frantsesez: rouge.Irakurri osorik → jarri zuen, behin. BolaekipamenduaBolaBidean errotorearen aurka jaurtitzen den bola txikia. Gaur egungo bolak ivorinazkoak edo teflonezkoak dira, 18–21 mm-koak.Irakurri osorik → 7 gorrian erori zen, eta $270.600ekin atera zen. ZerogurpilaZeroaDiru berdineko, dozenako edo zutabeko apusturik estaltzen ez duen zulo berde bakarra; etxearen abantailaren iturria. Bestela: zero bakarra, 0.Irakurri osorik → bikoitzeko gurpil batean, bira bakar hartan irabazteko aukera 47,37% zen, eta batez beste $7.121 kostatu zitzaion: apustu bakar bateko 5,26%-ko abantaila. $10eko apustutan banatuta, helburu bera ia itxaropenik gabea izango zen. Joko ausartak ez du apustua ona egiten; ahalik eta laburrena egiten du.

Ashley Revellen kapital osoa zero bikoitzeko gurpil baten bira bakar batean dago jokoan.

Porrot-arriskua helbururik gabe

Dena galdu arte jokatzen baduzu edo N biraren ondoren gelditzen bazara, galdera hau bihurtzen da: «zein da nire kapitala N biraren barruan zerora iristeko aukera?». N orokorrerako ez dago forma itxirik, baina webgune honetako simulagailuek kalkulatzen dute: $10ean gorrian jokatutako $500eko kapitala ia inoiz ez da agortzen 100 biratan (1% baino gutxiagotan), 500 biratan kasuen 9% inguruan agortzen da, eta 5.000 biratan 95% inguruan. Gelditzeko araurik gabe, probabilitatea 100% izatera jotzen du, eta hori da etxearen abantailarenmatematikaEtxearen abantailaApustu bakoitzetik kasinoak batez beste gordetzen duen zatia: 2,70% erruleta europarrean.Irakurri osorik → epe luzeko bertsioa.

Hamar saio, $500eko kapitala, $25 gorrian, 200 biraemaitza hasierarekiko

1.000 saio × 500 bira · morea p10/p25/p75/p90, urdin argia mediana, 81 lagin ahul · mugitu sagua diagraman bira bateko kuantilak ikusteko

p10 −$500
p25 −$500
mediana −$500
p75 +$0
p90 +$350

1.000 saio × 500 bira · y ardatza 1.–99. pertzentiletara mugatuta (muturrak: −$500 – +$1.500) · 500 bira · oinarria $25 · diru berdina

Behealdea ukitzen duten lerroak porrot egin dutenak dira. Unitate txikiagoarekin gehiago iraungo lukete, eta leku berean amaituko lukete.

Epe luzeko konbergentzia: zenbaki handien legea erruletan

Zenbat iraun, eta zenbat aurreratu

Beste bi emaitza klasikok jokalariek benetan egiten dituzten galderei erantzuten diete. Helbururik gabe, diru berdineko apustu finkoek batez beste 37 bira irauten dute kapitaleko unitate bakoitzeko gurpil europarrean, eta 19 amerikarrean, bira bakoitzak batez beste unitatearen 1/37 eramaten baitu (1/19 gurpil amerikarrean): 100 unitatek 3.700 bira irauten dute batez beste, halako saioen erdiak 3.134 biraren barruan amaitzen diren arren (ikusi «Saioaren iraupena eta kostua» orria). Eta kapitala edozein dela ere, gurpil europarrean inoiz k unitate aurretik egoteko aukera (18/19)ᵏ da. Hori 95% da unitate baterako eta 58% hamarretarako, baina ez dago kapitalik, nahi bezain handia izanda ere, inoiz 13 unitate aurretik egoteko erdi eta erdiko aukera ematen duenik; gurpil amerikarrean aukera (9/10)ᵏ da, eta erditik behera jaisten da 7 unitaterekin.

unitate aurretik, edozein unetanEuroparraAmerikarra

194,7%90,0%

576,3%59,0%

1058,2%34,9%

1349,5%25,4%

2033,9%12,2%

506,7%0,5%

1000,45%0,003%

Diru berdineko apustuak, apustu-zenbateko finkoa, eta inoiz agortuko ez den bezain handia den kapitala. Aukera (18/19)ᵏ da zero bakarreko gurpilean, eta (9/10)ᵏ zero bikoitzekoan.

Saioaren iraupena eta kostua Erruleta amerikarraren gurpila eta arauak

Erdi eta erdiko aukera izateko kapitala

Egin galdera alderantziz: zenbat eraman behar duzu, dena galdu aurretik zenbateko jakin bat irabazteko gutxienez erdi eta erdiko aukera izateko? Irabazi txiki baterako, ez asko. Handiagoa baterako, behar den kapitala bizkor igotzen da, eta puntu batetik aurrera ez da kapitalik nahikoa, amaigabeko batek ere ez baitu ematen hain aurrera inoiz iristeko erdi eta erdiko aukerarik. Taylorrek (2021) beste modu batera esaten du: gurpil amerikarrean, 100 unitatera iristeko erdi eta erdiko aukera izateko, 94rekin hasi behar duzu, 94 arriskatuz 6 irabazteko. Gurpil europarrean 88 beharko zenituzke.

irabaztekoEuroparraAmerikarra

1 unitate22

2 unitate33

3 unitate45

4 unitate68

5 unitate712

6 unitate921

7 unitate12ez da kapitalik nahikoa

8 unitate15ez da kapitalik nahikoa

10 unitate24ez da kapitalik nahikoa

12 unitate46ez da kapitalik nahikoa

13 unitate edo gehiagoez da kapitalik nahikoaez da kapitalik nahikoa

Kapitala galdu aurretik zenbatekoa irabazteko gutxienez erdi eta erdiko aukera ematen duen kapitalik txikiena, unitatetan, diru berdineko apustu finkoekin. Gure kalkulua, goiko formulatik abiatuta.

Ikasgai praktikoa

Erabaki zer egin nahi duzun. Helburua irabazi jakin bat bada, apustatu gutxitan eta handi. Helburua arratsalde luze bat bada, apustatu txiki, eta onartu abantailak apustu-bolumendiruaApustu-bolumenaSaio edo epe batean apustatutako guztizkoa, berriro apustatutako irabaziak barne. Bestela: handle, action.Irakurri osorik → handi baten 2,70% eramango duela. Helburua biak badira, zerbaitek amore eman behar du, eta normalean helburuak ematen du amore.

Formula

P(helburua) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ)

porrot-arriskua = 1 − P(helburua)

q/p = 19/18 diru berdinean

porrotera arteko batez besteko birak, helbururik gabe = 37 × unitateak

P(inoiz k unitate aurretik) = (18/19)ᵏ

Galderak

Jaisten al du progresio batek porrot-arriskua?

MartingaleestrategiaMartingaleGalera bakoitzaren ondoren apustua bikoizten duen progresioa. Ikusi Estrategia atala, zer egiten duen eta zer ez jakiteko.Irakurri osorik → estrategiak saio laburretan jaisten du, eta saio luzeetan izugarri igotzen. Unitate handiagoko apustu finkoaestrategiaApustu finkoaBira guztietan zenbateko bera apustatzea. Progresio guztiak harekin alderatzen dira.Irakurri osorik → da hura jaisteko modu zintzoa.

Eta zenbaki bakarreko apustuak?

Goiko formula diru berdinerako da. Bariantza handiko apustuetan porrota probableagoa da apustu-zenbateko txikiekin, eta helburura modu irregularragoan iristen da; erabili kalkulagailua.

Zergatik da q/p kantitate gakoa?

Helburura bideko urrats bakoitza porrotera bideko urrats bakoitza baino apur bat probabilitate txikiagokoa da; erlazioa urrats kopuruan zehar metatzen da.

Matematikarekin jolasean

Saiatu lehenik zeuk. Ebazpen bakoitza tolestuta dago; ireki prest zaudenean.

$100 dituzu eta $1.000 nahi dituzu, gorrianapustuaGorria18 zenbaki gorrien gaineko diru berdineko apustua. Frantsesez: rouge.Irakurri osorik → bakarrik apustu eginez. Lehen plana: $1 apustatu aldiko. Bigarren plana: daukazun guztia apustatu $500 gainditu arte, eta gero $1.000ra iristeko adina bakarrik. Zein plan da hobea, eta zenbatean?
Erakutsi ebazpena
Erantzuna Bigarrena, alde handiz. $1.000ra iristeko aukera 9,0% da gutxi gorabehera, joko orekatuko 10%-tik hurbil. Lehen planak 10²²tik 7 aldiz inguru lortzen du.
Joko orekatumatematikaJoko orekatuaAlde batek ere abantailarik ez duen jokoa: apustu guztien itxarondako balioa zero da.Irakurri osorik → batean $100etik $1.000ra hamarretik behin iritsiko zinateke, edozer egiten zenuela ere, zure diruaren batez besteko balioa $100ean geratzen delako.
Abantailak apustu bakoitzaren 2,70% eramaten du; beraz, guztira zenbat eta gutxiago apustatu, orduan eta hurbilago geratzen zara hamarretik batetik. Bigarren planak apustu gutxi batzuetan erabakitzen du kontua: $100 $200 bihurtzen dira, $400, $800, eta gero $200 nahikoa dira. Lortzeko aukera 9,0% da gutxi gorabehera. Lehen planak milaka apustu behar ditu ibilbidea amaitu aurretik, eta abantailak, apustu bakoitzean txikia izan arren, batuta ia ziurra den porrota dakar.
Hau da Dubins–Savage emaitza bere formarik errazenean (Epstein, 2013): etxearen aldeko joko batean, apustatu behar duzun guztia, ahalik eta aldi gutxienetan.
$500 dituzu eta $1.000 nahi dituzu, eta lortu bezain laster gelditzen zara. Apustu mota bat hautatzen duzu eta errepikatu egiten duzu behin irabazi arte edo dirua amaitu arte. Zein motak ematen du aukerarik onena?
Erakutsi ebazpena
Erantzuna Gorriaren aldeko $500eko apustu bakar batek: 48,6%. Dirua apustu txikiagotan banatzen duen plan orok okerrago egiten du.
Hautatu apustu-zenbateko bakoitza irabazi bakarra nahikoa izan dadin: zenbaki bakarreanapustuaZenbaki bakarraZenbaki bakar bat; 35:1 ordaintzen du.Irakurri osorik → $30ek $1.050 irabazten dituzte, bikoteapustuaBikoteaOndoz ondoko bi zenbaki; 17:1 ordaintzen du.Irakurri osorik → batean $60k $1.020, eta abar. Gero kontatu dirua amaitu aurretik gutxienez apustu batek irabazteko aukera. Zenbaki bakarreko $30eko hamasei apustuek denek huts egiteko aukera (36/37)¹⁶ = 64,5% da; beraz, $1.000ra iristeko aukera 35,5% da.
Taulak apustu bakoitza erakusten du. Gorriak onena egiten du apustu bakar batean iristen delako, eta, beraz, abantaila behin ordaintzen da, $500en gainean. Errenkada bikoitzaapustuaErrenkada bikoitzaOndoz ondoko bi errenkadatako sei zenbaki; 5:1 ordaintzen du. Frantsesez: sixain.Irakurri osorik → bigarrena da hiru bakarrik behar dituelako. DozenaapustuaDozena1–12, 13–24 edo 25–36; 2:1 ordaintzen du.Irakurri osorik → bakarreko apustua da txarrena, 12/37ko aukera; $250eko unitateetandiruaUnitateaSistema batek edo jokalari batek erabiltzen duen oinarrizko apustua. Progresioak unitatetan deskribatzen dira, edozein mahaitan aplika daitezen.Irakurri osorik → jokatuta ere, $1.000 edo gehiago izan arte, dozenak iristeko duen aukera 46,4% baino ez da.
Bollmanek (2024) taula bera eraikitzen du gurpil amerikar baterako. Bere dozenaren lerroak akats bat du: 12/38 = 31,6% esan beharko luke.
apustuazenbatekoa × apustu kopurua$1.000ra iristeko aukera
Zenbaki bakarra$30 × 1635,5%
Bikotea$60 × 835,9%
Errenkada$90 × 534,5%
Izkina$125 × 436,7%
Errenkada bikoitza$166, $166, $16841,2%
Dozena$500 × 132,4%
Gorria$500 × 148,6%
Unitate bat apustatzen duzu gorrian, biraz bira, inoiz amaitzen ez den kapitaldiruaKapitalaJokatzeko gordetako diru guztia. Kapitalaren kudeaketa da hartatik zenbat arriskatu erabakitzea, apustu bakoitzeko eta saio bakoitzeko.Irakurri osorik → batekin. Lehen biraren ondoren unitate bat gora edo unitate bat behera zaude. Zein da inoiz berriro berdinketa zehatzean egoteko aukera?
Erakutsi ebazpena
Erantzuna 37tik 36, 97,3%. Gurpil amerikar batean 38tik 36, 94,7%.
Lehen birak irabazten badu (37tik 18 aldiz), unitate bat gora zaude, eta abantailak saio amaigabe oro behera eramaten du; beraz, lehenago edo geroago berdinketatik pasatzen zara berriro: hori ziurra da. Galtzen badu (37tik 19 aldiz), unitate bat igo behar duzu, eta inoiz unitate bat aurretik egoteko aukera 18/19 da (ikusi goiko taula).
Batera: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Oro har, aukera 1 ken bira bat irabazteko eta galtzeko aukeren arteko aldea da: 1 − 1/37 gurpil europar batean, 1 − 2/38 amerikar batean. ZerorikgurpilaZeroaDiru berdineko, dozenako edo zutabeko apusturik estaltzen ez duen zulo berde bakarra; etxearen abantailaren iturria. Bestela: zero bakarra, 0.Irakurri osorik → gabeko joko batean aldea zero da eta aukera 1: emaitza beti itzultzen da berdinketara. Epsteinek (2013) arau orokorra ematen du.
Pascalen 1656ko buru-hausgarria: bi jokalarik hiru dado botatzen dituzte, bakoitzak 12 fitxarekin hasita. 11 bakoitzak fitxa bat eramaten dio lehen jokalariari, 14 bakoitzak bat bigarrenari; beste jaurtiketek ez dute balio. Zenbateko aukera du lehen jokalariak 24ak irabazteko? Eta horren ordez gorrian unitate 1 apustatzen baduzu bira bakoitzean, bankuarena egiten duen lagun baten aurka, 12na unitaterekin, zenbateko aukera duzu 24ak irabazteko?
Erakutsi ebazpena
Erantzuna Lehen jokalariak 1.158tik 1.157 aldiz inguru irabazten du. Zuk, gorrian, 24 unitateak irabazteko aukera 34% inguru baino ez duzu.
Hiru dadok 11 ematen dute 27 eratan, eta 14, 15 eratan; beraz, mugitzen den fitxa bakoitza lehen jokalariarengana doa 42tik 27 aldiz, 14tik 9 aldiz. Alde bakoitza 12rekin hasita, dena irabazteko aukera 1/(1 + r¹²) da; hemen r beste aldearen aukeraren eta zurearen arteko arrazoia da.
Lehen jokalariarentzat r = 5/9, eta (5/9)¹² ≈ 0,00086; beraz, aukera 0,99914 ingurukoa da: 9¹² 5¹²ren kontra, edo 282.429.536.481 244.140.625en kontra, 1.157 1en kontra inguru. Huygensek zenbaki horiek berak argitaratu zituen 1657an.
Gorrian, r = 19/18 zeroaren ondorioz, eta (19/18)¹² ≈ 1,913: zure aukera 1/2,913 ≈ 34,3% da. Txanpon batek 50% emango luke. Apustu bakoitzeko 2,70%-ko abantailak, behar diren apustu askotan batuta, 16 puntuko aldea sortzen du.

Umore pixka bat

$Joko ausarta optimoa da. Eta azkar amaitzen da.$

Joko ausarta optimoa da. Eta azkar amaitzen da.

Iturriak

Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, 1. liburukia. Wiley, 3. arg., 1968. Jokalariaren porrota, XIV. kapitulua.
Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2. arg. Academic Press, 2013.
Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2. arg. CRC Press, 2021.
Carcavi, P. de. Gutuna Huygensi, 1656ko irailaren 28a, Pascalek Fermati proposatutako problemari buruz. Œuvres complètes de Christiaan Huygens, 1. liburukia, 1888, 492–494. or.
Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae. 1657. Itxarondako balioaren lehen azterketa inprimatua.
Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling. Springer, 2010. 13. kapitulua, erruleta.
Reuters. «Briton bets it all on roulette spin, and wins». 2004ko apirila.
Las Vegas Sun. «Man wagers life’s worth». 2004ko apirilaren 12a.

berrikusia: 2026-09-28eredua: europarra, zero bakarrametodologia ↗iturriak ↗