Erruletaren matematika · Matematika-ariketa · 10 min

Ariketa: mahai-muga

$10eko Martingale bat $500eko mahai batean. Zenbatetan hausten da, zenbat galtzen du hausten denean, eta laguntzen al du muga igotzeak?

Erantzun laburra

Jarraian sei galerak hausten dute: 1,8% ziklo bakoitzeko, 100 birako saioen 60% inguru. Hausturak $630 kostatzen ditu. Muga $5.000ra igotzeak haustura arraroagoa egiten du (0,25% ziklo bakoitzeko) eta handiagoa ($5.110). Apustatutako dolar bakoitzeko itxarondako galera 2,70% da edozein mugatan.

oinarria / muga

$10 / $500

hausteko galerak

p(haustura) ziklo bakoitzeko

1,8%

galera hausturan

$630

Problema

Jokalari batek $10 apustatzen ditu gorrianapustuaGorria18 zenbaki gorrien gaineko diru berdineko apustua. Frantsesez: rouge.Irakurri osorik → eta bikoiztu egiten du galera bakoitzaren ondoren, eta berriro hasten da irabazi ondoren. Mahaiaren gehienekoa $500 da. (a) Jarraian zenbat galerak hausten dute progresioaestrategiaProgresioaApustua aurreko emaitzen arabera aldatzen duen edozein arau. Progresio negatiboek galeren ondoren igotzen dute, eta positiboek irabazien ondoren.Irakurri osorik →? (b) Zein da probabilitateamatematikaProbabilitateaEmaitza baten aukera, 0 eta 1 artean edo 0% eta 100% artean. Zenbaki bakar bat: 1/37 = 2,70%.Irakurri osorik → ziklo bakoitzeko? (c) Zer galtzen da hausturan? (d) Nola aldatzen ditu erantzunak $5.000ko muga batek? (e) Ba al dago sistema errentagarri bihurtzen duen mugarik?

Erruletako mahai-mugak

(a)–(c) ebazpenak

Apustuak: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Zazpigarrena 640 > 500 litzateke; beraz, sei galerak hausten dute. (b) p(galera) = 19/37 gorrian; (19/37)⁶ = 0,0183, 1,8% inguru ziklo bakoitzeko. Ziklo batek bi bira inguru irauten du batez beste; beraz, 100 birako saio batek 50 ziklo inguru ditu, eta p(gutxienez haustura bat) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, hau da, oinarrizko 63 unitatediruaUnitateaSistema batek edo jokalari batek erabiltzen duen oinarrizko apustua. Progresioak unitatetan deskribatzen dira, edozein mahaitan aplika daitezen.Irakurri osorik →, zikloak irabazi nahi zituen $10en aurrean.

mugahausteko galerakp(haustura) ziklo bakoitzekogalera hausturanp(haustura 100 biratan)berreskuratzeko behar diren irabaziak

$100313,5%$70≈ 100%7

$50061,8%$630≈ 60%63

$1.00061,8%$630≈ 60%63

$2.00070,94%$1.270≈ 36%127

$5.00090,25%$5.110≈ 11%511

$20.000110,07%$20.470≈ 3%2.047

Sabaia bikoizten den bakoitzean, hausturaren probabilitatea erdira jaisten da gutxi gorabehera, eta haren kostua bikoiztu egiten da. Biderkadura ez da aldatzen.

(d) ebazpena

$5.000ko mugarekin: 2.560 arteko apustuak onartzen dira; hamargarren apustua, 5.120, ukatu egiten da. Bederatzi galerak hausten dute: (19/37)⁹ ≈ 0,25% ziklo bakoitzeko, 100 birako saioen 11% inguru. Galera hausturan: 10 + 20 + … + 2.560 = $5.110. Jokalariak hondamendi arraroago bat erosi du, handiago baten truke. Saio askotan, hausturen itxarondako kostua p × galera ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 da ziklo bakoitzeko $500eko mugan, eta 0,0025 × 5.110 = $12,8 $5.000ko mugan; biribiltzeak alde batera utzita, zenbaki bera da, eta zikloaren itxarondako galeramatematikaItxarondako galeraItxarondako balioa bider apustatutako guztizkoa: saio batean edo epe batean galtzen den batez besteko zenbatekoa.Irakurri osorik → da, ziklo irabazleek lortzen dituzten $10ak gehituta.

(e) ebazpena

Ez. Ziklo bakoitzeko itxarondako galera = (zikloko apustu osoaren itxarondako balioa) / 37, edozein mugatan, apustu bakoitza bere buruaren −1/37 delako. Mugak erabakitzen duen bakarra da nola banatzen den galera irabazi txiki askoren eta galera handi gutxi batzuen artean. Mugarik gabe eta kapitaldiruaKapitalaJokatzeko gordetako diru guztia. Kapitalaren kudeaketa da hartatik zenbat arriskatu erabakitzea, apustu bakoitzeko eta saio bakoitzeko.Irakurri osorik → infinituarekin, progresioak «funtzionatuko» luke, inoiz ez litzatekeelako hautsiko, baina mugarik gabeko kopurua apustatuko luke, kopuru mugagabe horren 2,70%-ko itxarondako galerarekin. Mahai-mugamahaiaMahai-mugaOnartutako gutxieneko eta gehieneko apustua. Gehienekoak geldiarazten ditu bikoizte-progresioak.Irakurri osorik → ez da MartingaleestrategiaMartingaleGalera bakoitzaren ondoren apustua bikoizten duen progresioa. Ikusi Estrategia atala, zer egiten duen eta zer ez jakiteko.Irakurri osorik → estrategiari funtzionatzea eragozten diona. Aritmetika da.

Martingale $10eko oinarriarekin, 100 bira: batez besteko emaitza mugaren arabera (simulatua)$

$500eko muga

≈ −$75

$1.000ko muga

≈ −$75

$2.000ko muga

≈ −$72

$5.000ko muga

≈ −$70

$10 finko, edozein muga

$27

04080

Barrek galeraren tamaina erakusten dute. Muga igotzeak ia ez du batez bestekoa mugitzen; progresioak $2.800 inguru apustatzen ditu 100 biratan, sabaia edozein dela ere.

Benetako bi mahai

Thorpen adibidea $1eko mahai bat da, $1.000ko gehienekoarekin: jokalari batek afarirako $30 irabazi nahi ditu, dolarrez dolar. 1, 2, 4 … 512 apustuek hamar apustu ahalbidetzen dituzte; beraz, jarraian hamar galerak hausten dute progresioa: 785 ziklotik behin gurpil europar batean (613tik behin amerikar batean), $1.023ko kostuarekin. Aldien 96,2%-an, hogeita hamar zikloak arrakastaz amaitzen dira. Gainerako 3,8%-ak $1.000 inguru galtzen ditu, eta gauaren batez besteko emaitza −$9,17 da, hain zuzen hogeita hamar zikloek batez beste apustatzen dituzten $339ren 1/37. $5eko mahai bat $2.000ko gehienekoarekin ez da desberdina: $1.280ra arteko apustuek bederatzi apustu ahalbidetzen dituzte, eta haustura 403 ziklotik behin dator gurpil europar batean (323tik behin amerikar batean), $2.555eko kostuarekin.

Apustu bikoiztuak mahaiaren gehienekora igotzen dira, afaria ondoko gelan zain dagoen bitartean.

Jokalari aberats bat

Eman progresioari kapital sakon bat muga baxu baten ordez: 1.000 unitate, unitate bateko oinarria eta 1.000 bira gorrian, eta unitate batetik berriro hasi hurrengo bikoizketa geratzen dena baino handiagoa den bakoitzean. Milioi bat gau horrelako simulatu ditugu. Gurpil europar batean 52%-k irabazten amaitzen du, 21%-k dena galtzen du, eta batez besteko emaitza −124 unitate da. ZerorikgurpilaZeroaDiru berdineko, dozenako edo zutabeko apusturik estaltzen ez duen zulo berde bakarra; etxearen abantailaren iturria. Bestela: zero bakarra, 0.Irakurri osorik → gabeko joko batean ere, apustu guztiak orekatuak direnean, 60% inguruk baino ez luke irabazten amaituko. Gau arrunta irabazi txiki bat da; batez bestekoa zeroan amaitzen diren gauek ordaintzen dute.

gurpilairabazten amaitzen du1.000 unitateak galtzen ditubatez besteko emaitza

zerorik gabe (joko orekatua)60%15%0

Europarra52%21%−124 unitate

Amerikarra45%30%−250 unitate

Gure simulazioa, milioi bat gau gurpil bakoitzeko. Batez bestekoak progresioak 1.000 biratan apustatzen duenaren 1/37 eta 1/19 dira: 4.600 unitate inguru gurpil europar batean eta 4.750 amerikar batean.

Ikasgaia

Kasinoek mugak ezartzen dituzte beren bariantzamatematikaBariantzaEmaitzak itxarondako balioaren inguruan zenbat sakabanatzen diren adierazten duen neurria. Handia zenbaki bakarreko apustuan, txikia diru berdineko apustuetan.Irakurri osorik → mugatzeko, ez sistemak garaitzeko. Martingale garaitzea gustura onartzen duten albo-ondorio bat da, eta aritmetikak garaituko luke hala ere. Muga arazoa dela uste duen jokalariak amildegia aurkitu du, eta malda zela pentsatu.

Formula

p(haustura) = (19/37)ᵏ, k = mugak onartzen dituen galerak

galera hausturan = oinarria · (2ᵏ − 1)

E[galera ziklo bakoitzeko] = E[zikloko apustua] / 37

Galderak

Konponduko al luke kapital handiago batek?

Muga altuago batera arte irauten uzten dizu; han, haustura arraroagoa eta handiagoa da. Dolar bakoitzeko itxarondako galera ez da aldatzen.

Eta bikoizketa bakoitzean unitate bat gehitzen duen «Grand Martingale» bat?

10, 30, 70, 150, 310 apustuak: $500eko mugara bost galeraren ondoren iristen da, eta hausturak $570 kostatzen ditu. 2,70% berbera.

Zergatik dute kasinoek gehieneko apustua?

Jokalari batek ezin dezan apustatu kasinoaren erreserbak eroso ordain dezakeena baino gehiago. Bariantzaren kudeaketa.

Matematikarekin jolasean

Saiatu lehenik zeuk. Ebazpen bakoitza tolestuta dago; ireki prest zaudenean.

MartingaleestrategiaMartingaleGalera bakoitzaren ondoren apustua bikoizten duen progresioa. Ikusi Estrategia atala, zer egiten duen eta zer ez jakiteko.Irakurri osorik → estrategia bat $100ekin hasten da gorrianapustuaGorria18 zenbaki gorrien gaineko diru berdineko apustua. Frantsesez: rouge.Irakurri osorik → eta, gehienez, n apustu onartzen ditu ziklo bakoitzean: jarraian n galeraren ondoren amore eman eta berriro hasten da. Idatzi ziklo baten batez besteko emaitza n-ren formula gisa, eta kalkulatu 5, 6 eta 7 apusturako gurpil europar batean.
Erakutsi ebazpena
Erantzuna Batez bestekoa 100 × (1 − (38/37)ⁿ) da: −$14,26 5 apusturekin, −$17,35 6rekin eta −$20,52 7rekin. Apustu gehiago onartzeak batez besteko zikloa okertu egiten du, ez hobetu.
Ziklo batek $100 irabazten ditu n apustuak galtzen ez badira; hori qⁿ aukerarekin gertatzen da, q = 19/37 izanik. Denak galtzen direnean, 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ apustuek 100 × (2ⁿ − 1) egiten dute guztira. Beraz, batez bestekoa 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ) da.
Hemen 2q = 38/37, 1 baino apur bat gehiago; beraz, (2q)ⁿ hazi egiten da n-rekin eta batez bestekoa jaitsi: n = 5 eginda 1,1426 eta −$14,26; n = 6 eginda 1,1735 eta −$17,35; n = 7 eginda 1,2052 eta −$20,52. Eskailera luzeago batek gutxiagotan galtzen du (zikloa galtzeko aukera 3,6%, 1,8% eta 0,9% da), baina galera bakoitza bi aldiz handiagoa da, eta ziklo bakoitzean diru gehiago igarotzen da mahaitik, apustu bakoitzaren 2,70% kostatuta.
Gurpil amerikar batean 2q = 40/38 eta zifrak −$29,24, −$36,04 eta −$43,20 dira (Taylor, 2021). ZerorikgurpilaZeroaDiru berdineko, dozenako edo zutabeko apusturik estaltzen ez duen zulo berde bakarra; etxearen abantailaren iturria. Bestela: zero bakarra, 0.Irakurri osorik → gabeko joko batean 2q = 1, eta ziklo orok zero ematen du zehazki batez beste, eskailera edozein luzerakoa izanik ere.
«Grand Martingale» sistemak apustua bikoiztu eta unitatediruaUnitateaSistema batek edo jokalari batek erabiltzen duen oinarrizko apustua. Progresioak unitatetan deskribatzen dira, edozein mahaitan aplika daitezen.Irakurri osorik → bat gehitzen du galera baten ondoren; beraz, apustuak 1, 3, 7, 15, 31 … dira. Zenbat zaude gora lehen irabazia 1., 2., 3. edo k. apustuan iristen denean? $10eko unitatearekin eta $500eko gehienekoarekin, zenbatetan apurtzen da ziklo bat, eta zenbat kostatzen du ziklo batek batez beste?
Erakutsi ebazpena
Erantzuna k. apustuan irabazteak k unitate gora uzten zaitu: +1, +2, +3 eta abar. $10ekin eta $500ekin zikloa bost galeraren ondoren apurtzen da (apurtzeko aukera 3,57% da), −$570rekin. Batez beste ziklo batek $2,32 galtzen ditu apustatutako $85,73tik: 2,70%.
k. apustua 2ᵏ − 1 unitatekoa da: 1, 3, 7, 15, 31. Lehen k − 1 apustuek 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1 egiten dute guztira. k. apustuko irabaziak 2ᵏ − 1 ordaintzen du; beraz, zikloa (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k unitate gora amaitzen da: unitate bat gehiago irabaziaren aurreko galera bakoitzeko.
Unitatea $10 izanda, apustuak $10, $30, $70, $150 eta $310 dira; hurrengoa, $630, $500eko gehienekoaren gainetik dago. Jarraian bost galerak, (19/37)⁵ = 3,57%, 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570 kostatzen dute.
Batez beste: irabaziek $10 × k dakarte (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 aukerarekin, k = 1etik 5era, eta hausturak $570 eramaten ditu 3,57%-ko aukerarekin; batera, −$2,32. Apustatutako dirua batez beste $85,73 da ziklo bakoitzean, eta 2,32/85,73 = 2,70%. Mahai berean, Martingale arrunta sei galeraren ondoren apurtzen da (apurtzeko aukera 1,83% da), −$630rekin, eta ziklo batek $1,74 galtzen ditu apustatutako $64,20tik: 2,70% berriro.
Jokalari batek Martingale bat planifikatzen du gorrian, $1eko lehen apustuarekin, $1.000eko muga duen mahai batean; beraz, hamar apustu egin daitezke: $1, $2, $4 eta abar, $512 arte. Zenbatetan galtzen ditu ziklo batek hamarrak, zenbat denbora behar da horretarako batez beste, eta zenbatetan amaitzen da horrela 200 apustuko arratsalde bat?
Erakutsi ebazpena
Erantzuna Ziklo batek hamarrak galtzen ditu 784tik behin inguru, eta horrek $1.023 kostatzen ditu. Hori batez beste 1.600 apustu inguru da, eta 200 apustuko arratsalde bat hormaren kontra jotzeko aukera 11% ingurukoa da. Ziklo batek, hala ere, batez beste $0,31 galtzen ditu apustatutako $11,31tik: 2,70%.
Gorriaren aldeko apustu batek 19/37ko aukerarekin galtzen du, zeroa barne. Hamar jarraian: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, 784tik 1 inguru. 1 + 2 + 4 + … + 512 apustuek $1.023 egiten dute guztira.
Ziklo batek batez beste 2,05 apustu behar ditu; beraz, 784 ziklok 1.600 apustu inguru behar dituzte. Biraz bira kontatuta, hamar galerako bolada bat 200 apustutan nonbait agertzeko aukera 11,3% da.
Hondamendien artean jokalariak $1 irabazten du ziklo bakoitzean: $783 inguru txarraren aurretik, gero −$1.023, −$240 inguru tarte osoan. Ziklo bakoitzeko: 1 × (1 − 0,00128) − 1.023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Ziklo bakoitzeko apustatutako dirua: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. Eta −0,31/11,31 = −2,70%.
Konparatu $10eko lehen apustu bat $500eko mugarekin, sei apustu: horma 55 ziklotik behin iristen da, eta 200 apustuko arratsalde batek 84%-ko aukerarekin jotzen du. Muga altuago batek hondamendia arraroagoa eta handiagoa egiten du, ez merkeagoa.

Umore pixka bat

Arraroagoa eta handiagoa, edozein mugatan. Biderkadura konstantea da.

Iturriak

Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling. Springer, 2010. 13. kapitulua, erruleta.
Thorp, E. O. «Optimal gambling systems for favorable games.» Review of the International Statistical Institute 37(3), 1969.
Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling. Gambling Times / Lyle Stuart, 1984.
Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2. arg. Academic Press, 2013.

berrikusia: 2026-09-28eredua: europarra, zero bakarrametodologia ↗iturriak ↗