Epe luzeko konbergentzia: zenbaki handien legea erruletan
Batez bestekoa nola egonkortzen den −2,70% ingurura, eta zergatik behar duen intuizioak uste baino denbora gehiago.
Bira bakoitzeko batez besteko galera −1/37 baliora hurbiltzen da birak metatu ahala, eta sakabanaketa 1/√N bezala txikitzen da. Gorrian 1.000 bira egin ondoren, batez bestekoa bere itxarondako balioaren ±3% barruan egon ohi da.
Zenbaki handien legea
Apustu independenteen batez besteko metatua itxarondako balioarantzmatematikaItxarondako balioaApustu bakoitzeko batez besteko emaitza epe luzean. Apustuaren −1/37 erruleta europarreko apustu estandar guztietan.Irakurri osorik → doa. Diru berdineko N biratan unitatediruaUnitateaSistema batek edo jokalari batek erabiltzen duen oinarrizko apustua. Progresioak unitatetan deskribatzen dira, edozein mahaitan aplika daitezen.Irakurri osorik → bana apustatu ondoren, bira bakoitzeko batez besteko emaitzaren itxarondako balioa −1/37 da, eta desbideratze estandarramatematikaDesbideratze estandarraBariantzaren erro karratua: emaitza batek itxarondako baliotik izan ohi duen distantzia.Irakurri osorik →, 1/√N. N = 100 denean, sakabanaketa hori apustuaren 10% da, 2,7%-ko seinalea baino ia lau aldiz handiagoa. N = 1.000 denean, 3,2% da, seinalearen pareko. N = 10.000 denean, 1% da, eta abantaila argi ikusten da. Saio batean abantaila ikusezina da; urte batean, ukaezina.
Zer hurbiltzen den eta zer ez
Bira bakoitzeko batez bestekoa hurbildu egiten da. Guztizkoa ez: N handitu ahala zerotik gero eta urrunago doa, itxarondako balioan N-ren 2,7% inguru, eta haren inguruan √N-ko sakabanaketarekin. $10eko apustuekin 10.000 bira jokatu dituen jokalariak $2.700 galduta izatea da itxarondakoa, $1.000 gora edo behera. GorrienapustuaGorria18 zenbaki gorrien gaineko diru berdineko apustua. Frantsesez: rouge.Irakurri osorik → proportzio metatua aspaldi egonkortu da 48,65% inguruan; saldo metatua, berriz, ez da inon egonkortu.
- p10 −$440
- p25 −$280
- mediana −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Zergatik huts egiten duen intuizioak
Jendeak uste du abantaila laster agertuko dela, 2,70% asko dirudielako, eta bolada luzeak «berdinduko» direla, zenbaki handien legeakmatematikaZenbaki handien legeaEmaitza independenteen batez bestekoa itxarondako baliora hurbiltzen da saiakera kopurua hazi ahala.Irakurri osorik → batez bestekoak hurbiltzen direla dioelako. Bi intuizioek eskala gaizki neurtzen dute: abantaila txikia da bira bakar baten bariantzarenmatematikaBariantzaEmaitzak itxarondako balioaren inguruan zenbat sakabanatzen diren adierazten duen neurria. Handia zenbaki bakarreko apustuan, txikia diru berdineko apustuetan.Irakurri osorik → ondoan (σ = 1 unitate, EV = 0,027ren aurrean), eta beraz (1/0,027)² ≈ 1.400 bira behar dira sigma batean ikusgai izateko. Eta batez bestekoaren konbergentziak ez du guztizkoa atzera ekartzen; iraganeko gorabeherak urtu besterik ez ditu egiten.
Konbergentzia beste apustuetan
Zenbaki bakarreanapustuaZenbaki bakarraZenbaki bakar bat; 35:1 ordaintzen du.Irakurri osorik → σ = 5,84 da, eta kalkulu berak (5,84/0,027)² ≈ 47.000 bira ematen ditu abantaila sigma batera iristeko. Zenbaki bakarreko jokalariak urteak eman ditzake jokatzen bere erregistroetan abantaila zoritik bereizi ezinik, eta hala ere gorriaren jokalariak bezainbeste ordaintzen du, 2,70% hain zuzen; hark, ordea, aste gutxitan ikusten du.
Ondorioa sistemak probatzeko
Sistema batek funtzionatzen duela dioenak 10.000 bira edo gehiagotan erakutsi behar luke, batez besteko positibo dokumentatu batekin. 1.000 biratan, diru berdinean batez besteko positiboa bostetik bateko gertaera da hipotesi nuluaren pean; 100 biratan, ia txanpon bat botatzea bezala. Webgune honetako simulagailuek zuk aukeratutako luzerako 2.000 saio egiten dituzte segundo batean, eta hori edozein testigantza baino froga handiagoa da.
Formula
Galderak
Berriro irabazian egoteko probabilitateamatematikaProbabilitateaEmaitza baten aukera, 0 eta 1 artean edo 0% eta 100% artean. Zenbaki bakar bat: 1/37 = 2,70%.Irakurri osorik → zerorantz doa jokatu ahala. Guztizkoa mugarik gabe jaisten da.
Ez. Esan nahi du iraganeko gorabeherak lagin handiago baten zati txikiagoa bihurtzen direla.
Diru berdinean, 10.000 inguru abantaila argi ikusteko. Zenbaki bakarrean, 50.000 inguru.
Matematikarekin jolasean
Saiatu lehenik zeuk. Ebazpen bakoitza tolestuta dago; ireki prest zaudenean.
Bi lagunek joko orekatumatematikaJoko orekatuaAlde batek ere abantailarik ez duen jokoa: apustu guztien itxarondako balioa zero da.Irakurri osorik → baten 20 txanda jokatzen dituzte, txanpon-jaurtiketa bat edo gorriaapustuaGorria18 zenbaki gorrien gaineko diru berdineko apustua. Frantsesez: rouge.Irakurri osorik → beltzarenapustuaBeltza18 zenbaki beltzen gaineko diru berdineko apustua. Frantsesez: noir.Irakurri osorik → aurka zeroakgurpilaZeroaDiru berdineko, dozenako edo zutabeko apusturik estaltzen ez duen zulo berde bakarra; etxearen abantailaren iturria. Bestela: zero bakarra, 0.Irakurri osorik → itzulita, eta emaitza metatua eramaten dute. Kontatu bakoitza aurretik zenbat txandatan dagoen (berdinketa bat aurretik zihoanaren aldeko kontatzen da). Zer da probableagoa: lidergoa 10 txanda 10en kontra banatzea, ala lagun bat 20etan aurretik egotea?
Erakutsi ebazpena
Erantzuna Askoz probableagoa da lagun bat 20 txandetan aurretik egotea: 35,2%, bietako edozein kontatuta, 10 eta 10eko banaketa berdinak 6,1% duen bitartean.
Emaitza metatu zuzen bat 2k txandaren ondoren berdinduta egoteko aukera u = C(2k, k)/2²ᵏ da: 0,246 10 txandaren ondoren eta 0,176 20ren ondoren. Emaitza klasiko batek, arku-sinuaren legeak, dio izendatutako lagun bat 2n txandatik zehazki 2k txandatan aurretik egoteko aukera u(2k) × u(2n − 2k) dela.
20etan aurretik: u(20) × u(0) = 0,176 lagun bakoitzarentzat, 35,2% bietako edozeinentzat. Banaketa berdina: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, banaketa guztietan probabilitate txikienekoa.
Beraz, joko orekatu batean lidergoa gutxitan aldatzen da eskuz. Arratsalde osoan aurretik, edo atzetik, egon den jokalari batek ez du ezer arrarorik ikusi, eta horrek ez du ezer esaten gurpilari edo trebetasunari buruz. Epsteinek (2013) lege bera ematen du joko luzeagoetarako: denboraren erdian, zortedunenak jokoaren 85% baino gehiagotan darama lidergoa.
Umore pixka bat
Batez bestekoa hurbildu egiten da. Guztizkoa, alde egin besterik ez.
Iturriak
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.