Ariketa: urtebetetze-gurpila
Zenbat bira behar dira zenbakiren bat errepikatzeko? Jende gehienak uste baino askoz gutxiago.
Urtebetetzeen problema 37 zulokoekipamenduaZuloaErrotoreko 37 konpartimentu zenbakidunetako bat. Bestela: konpartimentua, gelaxka.Irakurri osorik → gurpil batean: 8 bira besterik ez eginda, erdia baino probabilitate handiagoa dago zenbakiren bat dagoeneko bi aldiz atera izana. Jokalariek errepikapenak eredu gisa irakurtzen dituzte; gurpil zuzen batengandik espero den portaera dira.
Problema
Biratu gurpil europar zuzen bat. Zenbat bira behar dira gutxienez bi birak zenbaki bera erakutsi izanaren probabilitateakmatematikaProbabilitateaEmaitza baten aukera, 0 eta 1 artean edo 0% eta 100% artean. Zenbaki bakar bat: 1/37 = 2,70%.Irakurri osorik → erdia gaindi dezan? Jokalari gehienek 18 edo 19 inguru esaten dute, 37ren erdia. Erantzuna 8 da.
Ebazpena
Kalkulatu errepikapenik ez egoteko probabilitatea eta kendu batetik. k biraren ondoren, p(guztiak desberdinak) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). k = 8 denean: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44; beraz, p(errepikapenen bat) ≈ 0,56. k = 14 denean 0,93 da; k = 20 denean, 0,996. Intuizioak huts egiten du biren bikote kopurua k² bezala hazten delako, eta edozein bikotek egin dezakeelako bat.
Zergatik den garrantzitsua mahaian
Azken 20 zenbakien emaitza-taula batek ia beti erakutsiko du gutxienez errepikapen bat, askotan bi edo hiru. Jokalariek «17 bi aldiz atera da hamar biratan» ikusten dute, eta 17 beroa dagoela ondorioztatzen; urtebetetzeen aritmetikak dio hamar biraren barruan errepikapen bat egoteko probabilitatea 74% dela, eta errepikatutako zenbakia ausazkoa dela. Eredua benetakoa da; esanahia, ez.
Jarraipeneko problema
Zenbat bira behar dira zenbaki jakin bat, 17 adibidez, bi aldiz atera dadin? Beste galdera bat da, eta erantzuna askoz handiagoa: itxarondako itxaronaldia 74 bira da, eta 20 biraren barruan bi 17 ateratzeko probabilitatea 10% ingurukoa. «Zenbakiren bat errepikatzen da» (8 bira) eta «zenbaki hau errepikatzen da» (74 bira) artean dagoen aldea da, hain zuzen, ondoren ohartzen zaren eredu baten eta aldez aurretik egiten duzun iragarpen baten arteko alde osoa.
Probatu
Jokatu hamar bira webgune honetako demo-jokoan eta begiratu historiari. Normalean errepikapen bat egongo da. Jokatu berriro. Errepikatutako zenbakia beste bat izango da. Egin hori hamar aldiz eta urtebetetzeen problemamatematikaUrtebetetzeen problemaZenbat pertsona behar diren bik ziurrenik urtebetetze bera izateko, edo zenbat bira behar diren zenbaki bat ziurrenik errepikatzeko. 37 zuloko gurpilean, 8 bira nahikoak dira aukera erdia baino handiagoa izateko.Irakurri osorik → ikusiko duzu; egin mila aldiz (simulagailuek egin dezakete) eta neurtu egingo duzu.
Formula
Galderak
Bai, zehazki, 365 egunen ordez 37 zulorekin. 23 pertsonak 50% ematen dute urtebetetzeetan; 8 birak, 56% gurpilean.
50% 19 bira ingururen ondoren. Ohikoa oraindik ere.
Ez. Gurpil bakar bateko milaka birek iradoki lezakete; errepikapen batek, inoiz ez.
Matematikarekin jolasean
Saiatu lehenik zeuk. Ebazpen bakoitza tolestuta dago; ireki prest zaudenean.
Gurpil amerikar baten ondoko emaitza-taulak azken 16 birak erakusten ditu. Zein probabilitate dago zenbaki bat ere bi aldiz ez agertzeko?
Erakutsi ebazpena
Erantzuna 2,5% inguru: 40 taulatik 39k, gutxi gorabehera, errepikapen bat gutxienez erakusten dute.
Joan biraz bira. Lehen bira edozein izan daiteke. Bigarrenak huts egin behar dio: 38tik 37 aukera. Hirugarrenak biei: 38tik 36. Hamaseigarrenak hamabost zenbakiri: 38tik 23.
Biderkatu: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Errepikapenik gabeko taula da arraroa. Errepikapena duen taula batek ez du ezer esaten gurpilari buruz.
Gurpil europar bateko hamar biratan, zein probabilitate dago 17 zehazki bost aldiz ateratzeko? Zenbakiren bat, edozein, bost aldiz edo gehiagotan ateratzeko? Eta lau biratan zenbaki bat gutxienez hiru aldiz ateratzeko?
Erakutsi ebazpena
Erantzuna 17 zehazki bost aldiz: 315.576tik 1. Zenbakiren bat bost aldiz edo gehiagotan: 8.333tik 1 inguru. Zenbakiren bat hiru aldiz edo gehiagotan lau biratan: 349tik 1.
17 bost aldiz: aukeratu hamar biretatik zein bost, 252 modu, bakoitza (1/37)⁵ × (36/37)⁵ probabilitatearekin. Guztira, 315.576tik 1.
Zenbakiren bat: 37 zenbakietako bakoitzak 308.325etik 1eko probabilitatea du bost asmatze edo gehiago izateko, eta horrek 308.325etik 37 ematen du, edo 8.333tik 1. Bost asmatzeko bi zenbakiren kasu arraroa bi aldiz zenbatzen da, baina kentzeak ez du ezer aldatzen zehaztasun honetan.
Hiru aldiz lau biratan: zenbaki batentzat, 37⁴ emaitza posibleetatik 4 × 36 + 1 = 145; 37 zenbakietako edozeinentzat, 145/37³ = 349tik 1.
ZerogurpilaZeroaDiru berdineko, dozenako edo zutabeko apusturik estaltzen ez duen zulo berde bakarra; etxearen abantailaren iturria. Bestela: zero bakarra, 0.Irakurri osorik → bikoitzeko gurpil batean, dagozkion zifrak 359.275etik 1, 9.243tik 1 eta 368tik 1 dira. «17» eta «zenbakiren bat» arteko aldea urtebetetzeen problemamatematikaUrtebetetzeen problemaZenbat pertsona behar diren bik ziurrenik urtebetetze bera izateko, edo zenbat bira behar diren zenbaki bat ziurrenik errepikatzeko. 37 zuloko gurpilean, 8 bira nahikoak dira aukera erdia baino handiagoa izateko.Irakurri osorik → da berriro: 37 modu daude harritzeko.
Umore pixka bat
Zerbait goiz errepikatzen da. Zerbait hori ausazkoa da.
Iturriak
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. «Ask the Wizard», erruletari buruzko galderak.