Kellyren irizpidea eta erruleta
Kellyren irizpideak abantaila duen jokalariari zenbat apustatu behar duen esaten dio. Erruletan erantzun argia ematen du: ezer ez.
Kellyren apustua = abantaila / kuota. Abantaila negatiboa denean, formulak zatiki negatiboa ematen du, eta horrek esan nahi du ez dela apustatu behar. Hala ere, irizpidea baliagarria da ulertzeko alborapen-jokalariek zergatik neurtu zituzten apustuak egin zuten bezala, eta zergatik beste guztiek aurrekontuaren arabera neurtu behar dituzten.
Irizpidea
John Kellyk (1956) galdetu zuen abantaila ezaguna duen jokalari batek nola neurtu behar dituen apustuak kapitalarendiruaKapitalaJokatzeko gordetako diru guztia. Kapitalaren kudeaketa da hartatik zenbat arriskatu erabakitzea, apustu bakoitzeko eta saio bakoitzeko.Irakurri osorik → epe luzeko hazkundea maximizatzeko. b 1en kontra ordaintzen duen apustu baterako, irabazteko probabilitateamatematikaProbabilitateaEmaitza baten aukera, 0 eta 1 artean edo 0% eta 100% artean. Zenbaki bakar bat: 1/37 = 2,70%.Irakurri osorik → p eta galtzekoa q = 1 − p direnean, erantzuna da kapitalaren f* = (bp − q) / b zatikia apustatzea. f* positiboa bada, zatiki hori apustatu; zero edo negatiboa bada, ez apustatu. Kellyk Bell Labs-en egiten zuen lan, eta bere artikuluak, «A new interpretation of information rate» izenekoak, Claude Shannonen informazioaren teorian kokatu zuen problema: zarata duen linea batetik aholkuak jasotzen dituen jokalariak, kuota zuzenetan, linea horrek garraiatzen duen informazio-abiaduran haz dezake kapitala, gehienez ere. 1961ean Leo Breimanek frogatu zuen Kellyren apustuak, epe luzean, funtsean desberdina den beste edozein estrategia gainditzen duela, eta helburu jakin batera ia denbora laburrenean iristen dela.
Kellyren apustua erruletan
GorrirakoapustuaGorria18 zenbaki gorrien gaineko diru berdineko apustua. Frantsesez: rouge.Irakurri osorik →: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. Zenbaki bakarrerakoapustuaZenbaki bakarraZenbaki bakar bat; 35:1 ordaintzen du.Irakurri osorik →: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Apustu estandar guztiek Kellyren zatiki negatiboa ematen dute, apustu guztien abantaila negatiboa delako, eta hazkunde optimoko apustua zero da. Erruletan Kellyren apustua etxearen abantailari buruzko orriak dioena esateko modu formala da: ez dago tamainarik itxarondako balio negatiboko apustu batek kapitala haz dezan.
Non aplikatu zen Kelly
Alborapen-jokalariek abantaila bat zuten, eta apustuak neurtzeko arazo bat. Jaggerrek, García-Pelayotarrek eta Eudaemonek erabaki behar izan zuten zenbat apustatu neurtutako abantailaren gainean: gutxiegi apustatuz abantaila xahutzen da, eta gehiegi apustatuz porrota etor daiteke abantaila agertu aurretik. 30etik 1ean ateratzen den zuloekipamenduaZuloaErrotoreko 37 konpartimentu zenbakidunetako bat. Bestela: konpartimentua, gelaxka.Irakurri osorik → baterako, Kellyk kapitalaren 0,57% apustatzea dio bira bakoitzean zenbaki horretan: $10.000rekin, $57 inguru bira bakoitzeko, bira bakoitzeko 0,054% inguruko hazkunde tipikoarekin, edo ×1,7 1.000 biratan. Batez besteko irabazia horren bikoitza da, 0,11% bira bakoitzeko, baina Kellyk kapital tipikoari begiratzen dio, ez batez bestekoari, bolada zorioneko gutxi batzuek puzten baitute azken hori. Kelly erdia da ohiko aukera praktikoa, abantailaren estimazioa ziurgabea delako.
Tipikoa eta batez bestekoa
Kapital tipikoaren eta batez bestekoaren arteko aldea handia da. Har dezagun 25etik 1ean ateratzen den zulo bat, 44%-ko abantaila, Thorpek bere gailurako ematen duen zifra. Kellyk kapitalaren 1,26% apustatzen du bertan. 1.000 biraren ondoren, kapital tipikoa 11,5 aldiz hazi da gutxi gorabehera; batez bestekoa, berriz, bolada oso zorioneko gutxi batzuek gora tiratuta, 249 aldiz inguru. Kelly baino gehiago apustatzeak batez bestekoa igotzen du eta emaitza tipikoa jaisten: Kellyren apustuaren bikoitzarekin kapital tipikoa bikoiztu besterik ez da egiten, eta bi aldiz eta erdirekin txikitu egiten da, apustu bakoitzak 44%-ko abantaila izan arren. Gutxiago apustatzeak gutxi kostatzen du: apustuaren erdiak hazkundearen hiru laurden inguru gordetzen ditu.
Abantaila asmakizun bat denean
Kellyk abantaila ezaguna dela suposatzen du. Mahaian estimatu egiten da, eta estimazioa handiegia izan ohi da. Epsteinen adibidea, Thorpen 44%-an oinarritua, zerogurpilaZeroaDiru berdineko, dozenako edo zutabeko apusturik estaltzen ez duen zulo berde bakarra; etxearen abantailaren iturria. Bestela: zero bakarra, 0.Irakurri osorik → bikoitzeko gurpil baten 1.225 biratan 49 aldiz atera zen zenbaki bat da: 25etik 1, 44%-ko abantaila, 1,26%-ko Kellyren apustua. Baina zero bikoitzeko gurpil zuzen batek 38 zenbaki ditu, eta haietatik maizenik ateratzen denak 49 agerraldi edo gehiago lortzen ditu 1.225 biratan, bederatzitik behin gutxi gorabehera. Erregistro bateko zenbakirik maizena zoriak gehien lagundu diona ere bada; beraz, benetan alboratuta dagoen zulo bat ere hobea dirudi erregistroan dena baino: irabazlearen madarikazioa. Zulo hori egiaz alboratu gabe badago, Kellyren apustua batez beste 5,26% galtzen duen apustu bat besterik ez da. Ohiko erantzunak dira Kellyren zati bat apustatzea eta zenbatzen jarraitzea abantailak erregistro berri bat gainditu arte (ikusi «Erruleta-gurpilaren alborapena nola detektatu» orria).
Abantaila duten pertsonak
Abantaila ezagutzea ez da ondo erabiltzea. Haghanik eta Deweyk (2016) $25 eman zizkieten 61 pertsonari, ordu erdiz apustu egin zezaten txanpon baten gainean; esan zitzaien txanponak aldien 60%-an aurpegia ateratzen zuela, eta irabaziak $250ean mugatuta zeuden (jokalariek muga horren berri izan zuten soilik hartara iristean). Kellyk dio kapitalaren 20% aurpegian apustatzea aldi bakoitzean, eta egileen kalkuluz 10–20%-ko apustu iraunkorrek mugara iristea lortuko lukete aldien 95% inguruan. Jokalarien 21% baino ez zen iritsi. 28% porrot eginda geratu zen, 61etatik 18k dena apustatu zuten txanpon-jaurtiketa bakar batean, heren bat inguruk hasierako $25 baino gutxiagorekin amaitu zuen, eta batez besteko ordainketadiruaOrdainketaApustu irabazle batek itzultzen duena, «X 1en kontra» moduan adierazia, itzulitako apustuaz gain.Irakurri osorik → $91 izan zen. 61etatik bostek baino ez zuten Kellyren irizpidearen berri. Abantaila izanda, apustuen tamainak erabakitzen du gordetzen duzun ala ez; abantailarik gabe, gurpil zuzen batean bezala, ez dago tamainarik lagunduko dizunik.
Zer erabili horren ordez
Abantailarik gabe, apustuen neurria aurrekontu-kontua da, ez hazkunde-kontua: apustua = bira bakoitzeko gastatzeko prest zaudena, orduko aurrekontutik eta mahaiaren erritmotik ateratakoa («Erruletako kapitalaren kudeaketa» orria). Kellyk jokalari arruntari egiten dion ekarpena bere erantzunaren argitasuna da: zero. Zerotik gora apustatzen duzun guztia jokatzearen prezioa da, zuk aukeratua, ez inolako formulak optimizatua.
Oharra Kelly zatikatuaz eta «diru-kudeaketaz»
«Erruletarako Kelly» gisa saltzen diren sistemak, apustu bakoitzeko kapitalaren ehuneko finko bat gomendatzen dutenak, apustua txikituz doan apustu finkoaestrategiaApustu finkoaBira guztietan zenbateko bera apustatzea. Progresio guztiak harekin alderatzen dira.Irakurri osorik → dira. Apustu-bolumenarendiruaApustu-bolumenaSaio edo epe batean apustatutako guztizkoa, berriro apustatutako irabaziak barne. Bestela: handle, action.Irakurri osorik → 2,70% galtzen dute, eta apustua galdu ahala txikitzen denez, porrota moteltzen dute, baina ez dute gertagaitz bihurtzen. Aurrekontu bat luzatzeko modu zentzuzkoa da; ez da Kelly, Kellyk gelditzeko esango bailuke.
Formula
Galderak
Soilik gurpil alboratulaborategiaGurpil alboratuaAkats fisikoengatik zulo batzuk 1/37 baino probableagoak dituen gurpila. Arraroa da, eta erregistratutako milaka biraren bidez baino ezin da detektatu.Irakurri osorik → batetik edo kronometraje-gailu batetik neurtutako abantaila dagoenean. Ez gurpil zuzen batean.
Abantailaren estimazioak errorea duelako, eta gehiegi apustatzea gutxiegi apustatzea baino garestiagoa delako. Kelly erdiak hazkundearen hiru laurden ematen ditu, bariantzarenmatematikaBariantzaEmaitzak itxarondako balioaren inguruan zenbat sakabanatzen diren adierazten duen neurria. Handia zenbaki bakarreko apustuan, txikia diru berdineko apustuetan.Irakurri osorik → laurden batean.
Ez. Kellyk hazkundea optimizatzen du abantaila bat dagoenean. Kapitalaren kudeaketak gastua kontrolatzen du abantailarik ez dagoenean.
Matematikarekin jolasean
Saiatu lehenik zeuk. Ebazpen bakoitza tolestuta dago; ireki prest zaudenean.
Thorpen eta Shannonen iragarpen-gailuak 44% inguruko abantaila ematen zuen. Iragarritako zenbaki bakar batean, Kellyk dio kapitalarendiruaKapitalaJokatzeko gordetako diru guztia. Kapitalaren kudeaketa da hartatik zenbat arriskatu erabakitzea, apustu bakoitzeko eta saio bakoitzeko.Irakurri osorik → 1,26% apustatu behar dela. Zer gertatuko litzateke 44%-ko abantaila bera ondoko bost zenbakiren artean banatutako apustu bakar batean lortuko balitz?
Erakutsi ebazpena
Erantzuna Orduan Kellyk kapitalaren 7,1% dio, eta kapitala ia sei aldiz azkarrago hazten da: 1.000 apustutan 1,25 milioi aldiz inguru, 11,5 aldiz inguruaren aldean.
44%-ko abantaila duen zenbaki bakarrekoapustuaZenbaki bakarraZenbaki bakar bat; 35:1 ordaintzen du.Irakurri osorik → apustuak 0,04ko aukerarekin irabazten du, 36 × 0,04 = 1,44 baita. Kellyren apustua abantaila zati kuota da: 0,44/35 = 1,26%. Apustu bakoitzeko hazkunde tipikoa 0,04 × ln(1 + 35 × 0,0126) + 0,96 × ln(1 − 0,0126) ≈ 0,00244 da; beraz, 1.000 apustuk kapitala e^2,44 ≈ 11,5 aldiz inguru biderkatzen dute.
Banatu apustu bakarra bost zenbakitan, eta apustuak 0,20ko aukerarekin irabazten du eta 36/5 1en truke ordaintzen du, hau da, 6,2 1en kontra: abantaila 44% da oraindik, 0,2 × 7,2 = 1,44 baita. Kellyren apustua 0,44/6,2 = 7,10% bihurtzen da, eta apustu bakoitzeko hazkundea 0,01404, 5,75 aldiz handiagoa gutxi gorabehera. 1.000 apustutan hori e^14,04 da, 1,25 milioi inguru.
Abantaila bera da; gorabeherak txikiagoak dira. Bostetik behin irabazten duen apustu batek kapitalaren zati handiagoa har dezake porrot-arriskurik gabe, eta Kellyren hazkundeak hori saritzen du. Thorpek (1984) adibide hori erabiltzen du iragarpen-jokalariek zergatik apustatzen dituzten sektoreakgurpilaSektoreaGurpileko zulo jarraituen arku bat, apustu-taulako talde batetik bereizia.Irakurri osorik → erakusteko. Praktikan, bost auzokoekapustuaAuzokoakZenbaki bat eta gurpilean haren alde bakoitzean dauden bi zuloak: zenbaki bakarreko bost fitxa.Irakurri osorik → zenbaki bakar onenak baino abantaila apur bat txikiagoa dute (ikusi «Erruletako abantaila-jokoa»).
Jokalari batek 37tik 1 aldiz beharrean 25etik 1 aldiz ateratzen diren ondoko bi zuloekipamenduaZuloaErrotoreko 37 konpartimentu zenbakidunetako bat. Bestela: konpartimentua, gelaxka.Irakurri osorik → aurkitu ditu. Bien arteko bikoteaapustuaBikoteaOndoz ondoko bi zenbaki; 17:1 ordaintzen du.Irakurri osorik → apustatu beharko luke 17 1en kontra, ala zenbaki bakoitza zenbaki bakar gisa? Zenbat dio Kellyk, eta zenbat azkarrago hazten da kapitala horrelako zulo bakar batekin baino?
Erakutsi ebazpena
Erantzuna Berdin da: kapitalaren 2,59% bikotean, edo 1,29% zenbaki bakoitzean. Kapital tipikoa 155 aldiz inguru hazten da 1.000 biratan, zulo bakarrarekin 11,5 aldiz.
Bikoteak 2/25 = 0,08ko probabilitatearekinmatematikaProbabilitateaEmaitza baten aukera, 0 eta 1 artean edo 0% eta 100% artean. Zenbaki bakar bat: 1/37 = 2,70%.Irakurri osorik → irabazten du eta 17 1en kontra ordaintzen du; beraz, apustatutako unitatediruaUnitateaSistema batek edo jokalari batek erabiltzen duen oinarrizko apustua. Progresioak unitatetan deskribatzen dira, edozein mahaitan aplika daitezen.Irakurri osorik → bakoitzeko 18 × 0,08 = 1,44 itzultzen du: abantaila 44% da, zulo alboratu bakar batekoa bezala. Kellyren apustua abantaila zati kuota da: 0,44/17 = 2,59%.
Zenbaki bakarreko bi apustuk, bakoitza 1,29%-koa, emaitza berberak ematen dituzte. Bietako edozein zenbaki ateratzen denean, fitxadiruaFitxaZenbateko finko bat ordezkatzen duen pieza, apustu bat egiteko apustu-taulan jartzen dena. Bestela: check.Irakurri osorik → batek 35 1en kontra irabazten du eta bestea galdu egiten da, kapitalaren 34 × 1,29% = 44% garbi, bikoteak ordaintzen duen bezala; bietako bat ere ateratzen ez denean, biak galtzen dira.
Bira bakoitzeko hazkundea 0,00505 da, zulo bakarrarentzat 0,00244 den bitartean; beraz, 1.000 biratan kapital tipikoa e^5,046 ≈ 155 aldiz hazten da, eta ez e^2,44 ≈ 11,5 aldiz. Bi zenbaki onek zenbaki on baten bikoitza baino askoz gehiago balio dute, eta horregatik apustatzen dituzte alborapen-jokalariek zenbaki-taldeak. Thorpek (1984) konparazio bera egiten du.
Umore pixka bat
Erruletako hazkunde optimoko apustua denok dakigun zenbaki bat da.
Iturriak
- Kelly, J. L. «A new interpretation of information rate.»
- Breiman, L. «Optimal gambling systems for favorable games.»
- Thorp, E. O. «Optimal gambling systems for favorable games.»
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2. arg.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2. arg.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. eta Dewey, R. «Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.»